1、計算的本質

　　抽象地說, 所謂計算, 就是從一個符號串f 變換成另一個符號串g 。比如說, 從符號串1 2 + 3 變換成1 5 就是一個加法計算。如果符號串f 是x2,而符號串g 是2x,從f 到g 的計算就是微分。定理證明也是如此, 令f 表示一組公理和推導規則, 令g 是一個定理, 那么從f 到g 的一系列變換就是定理g的證明。從這個角度看, 文字翻譯也是計算, 如f 代表一個英文句子, 而g 為含意相同的中文句子, 那么從f 到g 就是把英文翻譯成中文。這些變換間有什么共同點？為什么把它們都叫做計算？因為它們都是從己知符號( 串) 開始, 一步一步地改變符號( 串) , 經過有限步驟, 最后得到一個滿足預先規定的符號( 串) 的變換過程。

　　從類型上講, 計算主要有兩大類: 數值計算和符號推導。數值計算包括實數和函數的加減乘除、冪運算、開方運算、方程的求解等。符號推導包括代數與各種函數的恒等式、不等式的證明, 幾何命題的證明等。但無論是數值計算還是符號推導,它們在本質上是等價的、一致的, 即二者是密切關聯的, 可以相互轉化, 具有共同的計算本質。隨著數學的不斷發展, 還可能出現新的計算類型。

　　2 近代計算系統

　　近代的科學發展促進了計算工具的發展: 在1 6 1 4 年, 對數被發明以后, 乘除運算可以化為加減運算, 對數計算尺便是依據這一特點來設計。1 6 2 0 年, 岡特最先利用對數計算尺來計算乘除。1 8 5 0 年, 曼南在計算尺上裝上光標, 因此而受到當時科學工作者, 特別是工程技術人員廣泛采用。機械式計算器是與計算尺同時出現的, 是計算工具上的一大發明。帕斯卡于1642 年發明了帕斯卡加法器。在1671 年,萊布尼茨發明了一種能作四則運算的手搖計算器, 是長1 米的大盒子。自此以后, 經過人們在這方面多年的研究, 特別是經過托馬斯、奧德內爾等人的改良后, 出現了多種多樣的手搖計算器, 并風行全世界。

　　3 電動計算機

　　英國的巴貝奇于1 8 3 4 年, 設計了一部完全程序控制的分析機, 可惜礙于當時的機械技術限制而沒有制成, 但已包含了現代計算的基本思想和主要的組成部分了。此后, 由于電力技術有了很大的發展,電動式計算器便慢慢取代以人工為動力的計算器。1 9 4 1 年, 德國的楚澤采用了繼電器, 制成了第一部過程控制計算器, 實現了1 0 0 多年前巴貝奇的理想。

　　4 電子計算機

　　2 0 世紀初, 電子管的出現, 使計算器的改革有了新的發展, 美國賓夕法尼亞大學和有關單位在1 9 4 6 年制成了第一臺電子計算機。電子計算機的出現和發展, 使人類進入了一個全新的時代。它是2 0 世紀最偉大的發明之一, 也當之無愧地被認為是迄今為止由科學和技術所創造的最具影響力的現代工具。

　　在電子計算機和信息技術高速發展過程中, 因特爾公司的創始人之一戈登·摩爾(GodonMoore)對電子計算機產業所依賴的半導體技術的發展作出預言: 半導體芯片的集成度將每兩年翻一番。事實證明,自2 0 世紀6 0 年代以后的數十年內, 芯片的集成度和電子計算機的計算速度實際是每十八個月就翻一番, 而價格卻隨之降低一倍。這種奇跡般的發展速度被公認為“摩爾定律”。

　　5 量子計算系統

　　量子計算最初思想的提出可以追溯到20 世紀80 年代。物理學家費曼RichardP.Feynman 曾試圖用傳統的電子計算機模擬量子力學對象的行為。他遇到一個問題:量子力學系統的行為通常是難以理解同時也是難以求解的。以光的干涉現象為例,在干涉過程中, 相互作用的光子每增加一個, 有可能發生的情況就會多出一倍, 也就是問題的規模呈指數級增加。模擬這樣的實驗所需的計算量實在太大了, 不過, 在費曼眼里, 這卻恰恰提供一個契機。因為另一方面, 量子力學系統的行為也具有良好的可預測性: 在干涉實驗中, 只要給定初始條件, 就可以推測出屏幕上影子的形狀。費曼推斷認為如果算出干涉實驗中發生的現象需要大量的計算, 那么搭建這樣一個實驗, 測量其結果, 就恰好相當于完成了一個復雜的計算。因此, 只要在計算機運行的過程中, 允許它在真實的量子力學對象上完成實驗, 并把實驗結果整合到計算中去, 就可以獲得遠遠超出傳統計算機的運算速度。

　　在費曼設想的啟發下, 1 9 8 5 年英國牛津大學教授多伊奇DavidDeutsch 提出是否可以用物理學定律推導出一種超越傳統的計算概念的方法即推導出更強的丘奇——圖靈論題。費曼指出使用量子計算機時,不需要考慮計算是如何實現的, 即把計算看作由“神諭”來實現的: 這類計算在量子計算中被稱為“神諭”(Oracle)。種種跡象表明: 量子計算在一些特定的計算領域內確實比傳統計算更強, 例如,現代信息安全技術的安全性在很大程度上依賴于把一個大整數( 如1 0 2 4 位的十進制數) 分解為兩個質數的乘積的難度。這個問題是一個典型的“困難問題”, 困難的原因是目前在傳統電子計算機上還沒有找到一種有效的辦法將這種計算快速地進行。目前, 就是將全世界的所有大大小小的電子計算機全部利用起來來計算上面的這個1 0 2 4 位整數的質因子分解問題, 大約需要2 8 萬年, 這已經遠遠超過了人類所能夠等待的時間。而且, 分解的難度隨著整數位數的增多指數級增大, 也就是說如果要分解2 0 4 6 位的整數, 所需要的時間已經遠遠超過宇宙現有的年齡。而利用一臺量子計算機, 我們只需要大約4 0 分鐘的時間就可以分解1024 位的整數了。

　　6 量子計算中的神諭

　　人類的計算工具, 從木棍、石頭到算盤, 經過電子管計算機, 晶體管計算機, 到現在的電子計算機, 再到量子計算。筆者發現這其中的過程讓人思考: 首先是人們發現用石頭或者棍棒可以幫助人們進行計算, 隨后, 人們發明了算盤, 來幫助人們進行計算。當人們發現不僅人手可以搬動“算珠”, 機器也可以用來搬動“算珠”, 而且效率更高, 速度更快。隨后, 人們用繼電器替代了純機械, 最后人們用電子代替了繼電器。就在人們改進計算工具的同時,數學家們開始對計算的本質展開了研究,圖靈機模型告訴了人們答案。

　　量子計算的出現, 則徹底打破了這種認識與創新規律。它建立在對量子力學實驗的在現實世界的不可計算性。試圖利用一個實驗來代替一系列復雜的大量運算。可以說。這是一種革命性的思考與解決問題的方式。

　　因為在此之前, 所有計算均是模擬一個快速的“算盤”, 即使是最先進的電子計算機的CPU 內部,64 位的寄存器(register),也是等價于一個有著6 4 根軸的二進制算盤。量子計算則完全不同, 對于量子計算的核心部件, 類似于古代希臘中的“ 神諭”, 沒有人弄清楚神諭內部的機理, 卻對“神諭”內部產生的結果深信不疑。人們可以把它當作一個黑盒子, 人們通過輸入, 可以得到輸出, 但是對于黑盒子內部發生了什么和為什么這樣發生確并不知道。