摘要:在隨機設計(模型中所有變量為隨機變量)下,提出了非參數計量經濟模型的變窗寬核估計,并利用概率論中大數定理和中心極限定理,在內點處證明了它的一致性和漸近正態性.它在內點處的收斂速度達到了非參數函數估計的最優收斂速度.

關鍵詞:非參數計量經濟模型 變窗寬 核估計

Abstract:This paper presents kernel estimators with variable bandwidth for nonparametric regression e-conometric models in the random design case that all variables in models are stochastic. We prove itsconsistency and asymptotic normality in interior by using laws of large numbers and central limittheoremsin probability. Its rates of convergence in interior points equal the optimal rate convergence for estimatingnonparametric function.

Keywords:nonparametric regression econometric model; variable bandwidth; kernel estimation

當多元非參數計量經濟模型解釋變量的分布不是均勻分布時,若采用不變窗寬核估計,則在密度大的點處由于窗寬相對較大,過多的觀察點進行局部回歸將導致估計的精度下降,在密度小的點處由于窗寬相對較小,過少的觀察點進行局部回歸也將導致估計的精度下降.若掌握解釋變量分布的一些信息,對密度大的點取較小的窗寬,對密度小的點取較大的窗寬,這樣采用與掌握的信息有關的變窗寬核估計將會提高估計的效率[1-3].非參數計量經濟模型核估計是一個深受歡迎的估計方法[4].研究多元非參數回歸模型變窗寬核估計的性質,得到了變窗寬核估計的條件漸近偏和方差.在內點處證明了它的一致性和漸近正態性,它在內點處的收斂速度達到了非參數函數估計的最優收斂速度.變窗寬核估計在邊界點處的性質將另文討論.

1　非參數計量經濟模型的變窗寬核估計

設(X1, Y1),…, (Xn, Yn)是Rd+1維獨立同分布的隨機變量向量序列,考慮非參數計量經濟模型:Yi= m(Xi)+ ui(1)其中:隨機誤差項序列{ui}是條件均值E(uiXi) =0,條件方差為σ2(x) =Var(uiXi=x)的相互獨立隨機變量序列,于是m(Xi) = E(YiXi). 設f(x)是X1的密度函數,假定inff(x)>0, m(x)的二階偏導數連續,σ2(x)連續有界.設K(·)是d維對稱密度函數, K(u)≥0,∫K(u)du=1;令Kh(u) = h-dK(h-1u).假設∫uuTK(u)du=μ2(K)I,其中μ2(K)≠0,I為d×d單位陣;假設當l1+…+ld為奇數時,∫ul11…ulddK(u)du=0,其中li為非負整數;假定K(·)的支撐是有界閉集,假設hn= cn-1/(d+4).m(x)的變窗寬核估計為:m^n(x, hn,α) =∑ni=1Khn/α(Xi)(Xi-x)Yi∑ni=1Khn/α(Xi)(Xi-x) (2)其中:hn為不變窗寬;α(·)為變窗寬函數.假設α(·)連續可微.

2　主要結論

首先給出了非參數計量經濟模型變窗寬核估計的逐點條件漸近偏和漸近方差.其次,給出了變窗寬核估計的漸近正態性的結論.

定理1　設x為supp(f) = {xf(x)≠0}的內點,則1) E{m^n(x,α)X1,…,Xn}-m(x) = h2na(x,α,K)+ op(h2n)其中: a(x,α, K) =α(x)-3∫supp(K)uTDm(x)DTα(x)uuTDK(u)du+μ2(K)[dDTα(x) +α(x)f(x)-1DTf(x)]Dm(x)+12μ2(K)(α(x))-2s(Hm(x))　　; Hm(x) = 2m(x) xi xj d×d, s(·)為矩陣的所有元素之和.2)Var[m^n(x, hn,α)X1,…,Xn] = n-1h-dnR(K)(α(x))dσ2(x)f(x)-1+ op(n-1h-dn)其中R(K) =∫(K(u))2du.由定理1知,變窗寬核估計的漸近偏和漸近方差將趨于零.

定理2　設x為supp(f) = {xf(x)≠0}的內點,則n2/(d+4)[m^n(x,α)-m(x)]dN(c2a(x,α, K), c-dR(K)(α(x))dσ2(x)f(x)-1)　　

由定理2知,變窗寬核估計具有漸近正態性.由于漸近方差趨于零,利用大數定律可知,變窗寬局部線性估計是一致估計.易見,其收斂速度為O(n-2/(d+4)),該收斂速度達到了Stone[5]的非參數函數估計的最優收斂速度.

3　主要結論的證明

因為Yi= m(x)+(Xi-x)TDm(x)+1/2Qmi(x)+ ui(3)其中:Dm(x) = m(x)/ x1　…　 m(x)/ xdT,Qmi(x) = (Xi-x)THm(zi(x,Xi))(Xi-x),zi(x,Xi)-x≤Xi-x,所以,m^n(x, hn,α)-m(x) =∑ni=1Khn/α(Xi)(Xi-x)[(Xi-x)TDm(x)+12Qmi(x)+ ui]∑ni=1Khn/α(Xi)(Xi-x)(4)由Xi相互獨立,可知zi(x,Xi)相互獨立.

引理1　①n-1∑ni=1Khn/α(Xi)(Xi-x) =f(x)+ op(1)②　n-1∑ni=1Khn/α(Xi)(Xi-x)(Xi-x)　= h2nα(x)-3f(x)∫supp(K)uDTα(x)uuTDK(u)du+μ2(K)[df(x)Dα(x)+α(x)Df(x)] +op(h2ni) 其中i為元素全為1的列向量、行向量或矩陣(下同).③n-1∑ni=1Khn/α(Xi)(Xi-x)Qmi(x) = h2nf(x)μ2(K)(α(x))-2s(Hm(x))+ op(h2n)④[n-1∑ni=1Khn/α(Xi)(Xi-x)]-1=f(x)-1+ op(1)⑤E[n-1∑ni=1Khn/α(Xi)(Xi-x)ui] =0(nhdn)1/2n-1∑ni=1Khn/α(Xi)(Xi-x)uidN(0, R(K))(α(x))dσ2(x)f(x))只證明引理1②和⑤,其它類似可證.

3.1

引理1②的證明因為n-1∑ni=1Khn/α(Xi)(Xi-x)(Xi-x) = E[Khn/α(Xi)(Xi-x)(Xi-x)]+Opn-1Ψ,其中Ψ是VarKhn/α(Xi)(Xi-x)(Xi-x)的對角元素組成的列向量.因x為內點,則當hn充分小時,supp(K) {z:(x+ hn(α(x))-1z)∈supp(f)}由f、K和α的連續性,可得到:　E[Khn/α(Xi)(Xi-x)(Xi-x)]=∫supp(f)h-dn(α(X1))dK(h-1n(α(X1)(X1-x))(X1-x)f(X1)dX1=∫Ωn(α(x+ hnQ))dK(Qα(x+ hnQ))f(x+ hnQ)hnQdQ= h2n(α(x))-3{f(x)∫supp(K)DTα(x)uuTDK(u)udu+μ2(K)[df(x)Dα(x)+α(x)Df(x))]+o(h2n)其中Ωn= {Q:x+ hnQ∈supp(f)}.因為:　VarKhn/α(Xi)(Xi-x)(Xi-x)= E Khn/α(Xi)(Xi-x)(Xi-x)-E[Khn/α(Xi)(Xi-x)(Xi-x)]　Khn/α(Xi)(Xi-x)(Xi-x)-E[Khn/α(Xi)(Xi-x)(Xi-x)]T= E [Khn/α(Xi)(Xi-x)(Xi-x)][Khn/α(Xi)(Xi-x)(Xi-x)]T　- E[Khn/α(Xi)(Xi-x)(Xi-x)] E[Khn/α(Xi)(Xi-x)(Xi-x)]T由f、K和α的連續性,可得到:　E [Khn/α(Xi)(Xi-x)(Xi-x)][Khn/α(Xi)(Xi-x)(Xi-x)]T= E[(Khn/α(Xi)(Xi-x))2(Xi-x)(Xi-x)T]=∫supp(f)[h-dn(α(X1))dK(h-1α(X1)(X1-x))]2f(X1)(X1-x)(X1-x)TdX1= h-d+2n∫Ωn((α(x+ hnQ))dK(Qα(x+ hnQ)))2f(x+ hnQ)QQTdQ= h-d+2n∫Ωn((α(x))dK(Qα(x)))2f(x)QQTdQ+ o(h-d+2ni) = O(h-d+2ni)易見: Opn-1Ψ= op(h2ni)綜合上述結論,可知引理1②成立.

3.2　引理1⑤的證明顯然E n-1∑ni=1Khn/α(Xi)(Xi-x)ui= n-1∑ni=1E E Khn/α(Xi)(Xi-x)uiXi=0由f、K、σ2和α的連續性,可得到:　Varn-1∑ni=1Khn/α(Xi)(Xi-x)ui= n-1Var[Khn/α(Xi)(Xi-x)ui]= n-1∫supp(f)[h-dn(α(X1))dK(h-1nα(X1)(X1-x))]2σ2(X1)f(X1)dX1= n-1h-dn∫Ω2((α(x+ hQ))dK(Qα(x+ hQ)))2σ2(x+ hQ)f(x+ hQ)dQ= n-1h-dn∫Ωn((α(x))dK(Qα(x)))2σ2(x)f(x)dQ+ o(n-1h-dn)= n-1h-dn(α(x))dσ2(x)R(K)f(x)+ o(n-1h-dn)綜合上述結論,可知引理1⑤成立.

3.3　定理1的證明由引理1②、③,有:　E{m^n(x, hn,α)X1,…,Xn}-m(x) =∑ni=1Khn/α(Xi)(Xi-x)[(Xi-x)TDm(x)+12Qmi(x)]∑ni=1Khn/α(Xi)(Xi-x)= h2nα(x)-3∫supp(K)uTDm(x)DTα(x)uuTDK(u)du+μ2(K)[dDTα(x)+α(x)f(x)-1DTf(x)]Dm(x)　+12μ2(K)(α(x))-2s(Hm(x)) + op(h2n)易見:Var{m^n(x, hn,α)X1,…,Xn} =∑ni=1[Khn/α(Xi)(Xi-x)]2σ2(Xi)∑ni=1Khn/α(Xi)(Xi-x)2容易證明: n-1∑ni=1[Khn/α(Xi)(Xi-x)]2σ2(Xi) = h-dnR(K)(α(x))dσ2(x)f(x)+ op(h-dn)綜合上述結論和引理1④,可得到:Var{m^n(x, hn,α)X1,…,Xn} = n-1h-dnR(K)(α(x))dσ2(x)f(x)-1+ op(n-1h-dn)

3.4　定理2的證明由引理1②、③、⑤和中心極限定理,易見:n2/(d+4)n-1∑ni=1Khn/α(Xi)(Xi-x)[(Xi-x)TDm(x)+12Qmi(x)+ ui]dN(c2f(x)a(x,α, K), c-dR(K)(α(x))dσ2(x)f(x))再由引理1④,可推得該定理成立.

參考文獻:

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[4] Wang M P, Jones M C. Kernel smoothing[M]. London: Chapman&Hall, 1995.

[5] Stone C J. Optimal global rates of convergence for nonparametric regression[J]. Annals Statistics, 1982(10): 1 040-1 053.