摘 要:指出數值分析課程特點和當前存在的不足,介紹了優秀數值計算軟件Matlab,結合教學實踐,從抽象內容直觀化、復雜計算簡單化、數值實驗強基礎和案例分析長才干四方面,探討基于Matlab平臺的工科碩士研究生數值分析教學改革。
　　關鍵詞:數值分析;Matlab;教學實踐
　　　　桂曙光(1965-),男 , 安徽桐城人,副教授,碩士 , 主要從事應用數學的教學和研究。
　　
　　On the teaching practice of Matlab- platform-based
　　numerical analysisfor postgraduates of engineering major
　　GUIShu-guang
　　(School of Science, Anhui University of Science and Technology, Huainan, Anhui232001, China)
　　Abstract: This paper points out the features of numerical analysis course and its present shortcomings and introduces Matlab, an advanced software of numerical analysis. Besides, with regard to the teaching practice, the paper studies the teaching reform of Matlab-platform-based numerical analysis for postgraduates of engineering major from the four aspects of visualizing the abstract, simplifying the complex computing, enhancing the base of numerical experiment, and improving ability of case analysis.
　　Key words: numerical analysis; Matlab; teaching practice
　　
　　隨著計算機技術的迅猛發展,科學計算已經與實驗研究、理論分析并稱為科學研究的三大方法,借助于計算機和數值計算理論,人們能對自然科學、工程技術、經濟管理及至人文社會科學領域中的數值模型求出數值解。因此,要求改革數學課程教學的呼聲日益增長,而數值分析課程以其獨特的特點首當其中,提高數值分析教學質量,培養學生數學素養,掌握實用算法并能熟練利用計算機求解成為當務之急。
　　一、數值分析課程的特點與現狀
　　(一) 課程內容多雜而教學時數少
　　本課程包括了數值逼近(插值、函數逼近,數值積分與微分),數值代數(線性方程組求解、矩陣特征值與特征向量),方程求根(非線性方程(組)求解,解微分方程)等內容。在運用傳統教學方法講授這些知識時,由于公式多,推導過程繁瑣,加上教學時數少(54學時),很多內容難以說清楚,致使學生產生厭學情緒,教學效果大打折扣。
　　(二) 計算復雜
　　解題時,一般都要進行大量的計算,不是一支筆、一張紙,外加一臺計算器能順利解決的,因此學生只能做一些簡單的數值模擬題,難以領會和理解方法的計算要領和步驟,體會問題的條件和限制范圍,理解一般問題和特殊問題的區別。
　　(三) 重理論輕實踐
　　傳統課程只注重講授數值方法的原理,課堂教學占去整個教學過程的絕大部分時間,學生沒有實驗、實踐的深刻體會,不能全面理解和運用教材中的算法。
　　(四)直觀性差
　　課堂教學中難以對一些重要概念、重要現象進行直觀展示,學生只是被動記憶一些結論,并不真正理解。
　　二、Matlab——優秀的數值計算軟件
　　美國Mathwork公司于1967年推出了適用于不同規格計算機和各種操作系統的數學軟件包-Matlab[1],它集數值計算、符號分析、圖形可視化、文字處理于一體,語法簡單、操作方便、界面友好,只要有點Windows操作經驗,在短時間內就可學會它的操作和使用方法,而且其編程效率遠優于BASIC、FORTRAN、C等軟件。它具有很好的開放性,以它為基礎開發的二十多個工具箱,可用于解決諸多學科專業中的數值計算問題。該軟件已成為發達國家高等院校理工科學生必須掌握的基本軟件,也是科學研究和工程設計部門解決具體問題的一種標準軟件。用過它的人都感嘆:用Matlab處理矩陣-容易;用Matlab實現可視化-輕松;用Matlab編程-簡潔!
　　三、數值分析課程教學改革實踐
　　針對數值分析課程的特點和傳統教學中的不足,筆者在多年的教學實踐中,將Matlab軟件應用于數值分析教學,取得了良好的教學效果。主要做法如下。
　　(一)抽象內容直觀化
　　心理學研究表明, 與抽象的內容相比,學生易于識記生動、形象、有趣的學習材料。如果能將抽象的數學知識直觀的呈現在學生們面前,無疑將會極大地激起學生的學習興趣,Matlab強大的可視化功能正好能做到這一點。一個典型的例子是在引入分段低次插值時,為了讓學生更好地理解Runge現象,利用屏幕動態地顯示f(x) =11+x2插值函數圖象[2]31。
　　在[-5,5]上取等距節點(給定n,共取n+1個點)
　　xk=-5+k·10n ,k=0,1,2,…,n。
　　構造拉格朗日插值多項式Ln(x),隨著n的增大,在區間端點附近Ln(x)與f(x)接近程度越差,形象的說明了高次插值函數近似f(x)的效果并不好,為講授分段低次插值做了個很好的引子。
　　借助于Matlab平臺,函數逼近中的誤差分布,數值積分方法的改進,迭代過程等等均能很容易直觀地呈現在學生面前。
　　(二) 復雜計算簡單化
　　數值分析難,主要難在運算過程(公式)復雜,大部分時候難以靠一支粉筆在黑板上一步一步的演算,學生課后練習也只能做一些簡單的數值模擬。而Matlab強大的數值計算功能,幫助我們解決了這個問題。
　　例如,用雅可比迭代、高斯-賽德爾迭代和超松弛迭代求解線性方程組的數值計算,計算量非常大,按照教材講解,只能簡單地告知結果,學生積極性不高,利用Matlab 編寫三個簡單的小程序,便可將計算結果(甚至每一步的迭代結果)直觀地展示給學生。
　　例1 分別用雅可比迭代、高斯-賽德爾迭代和超松弛迭代解線性方程組[2]213
　　并比較收斂速度,取精度=10-5。其精確解為 x*=(-1,-1,-1,-1)T。
　　教學中,用自編的程序,很快得出了下列結果,并比較了方法的優劣(見表1和表2)。
　　數值分析教學中,這樣的例子比比皆是,只要教師認真設計,不僅能大大激起學生對學習內容及過程強烈的興趣,而且還對初步培養學生科學計算能力起到了重要作用。
　　(三)數值實驗強基礎
　　數值分析是一門實驗性較強的學科,上機實驗不僅能加深學生對算法穩定性,理論可靠性及計算復雜性的理解,培養學生的編程能力,還能培養學生質疑問題的能力和創新精神。因此每章結束后,都提供一兩個問題要求學生利用MATLAB軟件,自編程序或利用其庫函數求解問題,分析結果。如學習線性方程組迭代法后,提供一個高階病態的線性方程組,要求學生用各種方法上機求解,并對結果進行分析,找出收斂較快的迭代法,尋求最佳松弛因子。
　　(四) 案例分析長才干
　　實踐性是數值分析課程區別于其它數學課程的一個重要特征。每個部分內容結束后,安排一個案例分析,幫助學生從“算”數學過渡到“用”數學。如海底測量(插值),估計水塔的水流量(插值、數值微分與積分),投入產出分析(線性方程組),商品的產量與價格(方程求根),導彈系統的改進(微分方程)等。通過這些案例分析,既使學生認識到數值分析的實用性,又讓學生領略了Matlab的強大功能,積累了用數學軟件解決實際問題的經驗。由于教學時數的限制,案例分析一般由學生課后完成,教師負責指導。
　　四、結束語
　　數值分析是研究如何用計算機解決實際問題的課程,將Matlab與數值分析課程結合起來,開闊了學生思路,拓展了解決問題的方法,取得了較好的教學效果,學生做畢業論文,甚至在實際工作中遇到有關難題時,經常當面或通過郵件與我進行探討。學生普遍反映數值分析課程內容多,實踐性強,應用廣泛,費時費力,但學下來最有用,收益終生。
　　
　　參考文獻:
　　[1] ]周品,趙新芬.Matlab數學建模與仿真[M].北京:國防出版社,2009.
　　[2] 李慶楊,王能超,易大義.數值分析(第四版)[M].武漢:華中科技大學出版社,2006.
　　[3] 劉彩云,陳忠.《數值分析》課程教學改革的若干思考[J].長江大學學報:自然科學版,2009,6(1):358-359.
　　[4] 曾繁慧,高雷阜,胡行華.基于Matlab的《數值分析》教學改革研究[J].高教論壇,2008(3):60-61.
　　[5] 石辛民.“計算方法”課是Matlab語言的最佳切入點[J].高等理科教育,2002(5):63-65.

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